线性化

 

其实本章节的设置就显得有些为难，按照常理需要大家针对后面的“线性化机制”一章节进行充分理解后，我们才能更好的进行线性化的数学抽象。然而又为了照顾统一在数学抽象的章节中，所以这里为了统一性，就烦请读者在阅读本章之前可以先阅读后面“线性化机制”的内容，在概念上有一些感觉。

由于进行置换以后，更多的设计对象能够具有更多的相似或相同的特征，那么在此之上的一些操作我们就可以转化为数学上的线性化的处理过程。我们就可以利用线性化的已知结论来进行更加丰富的处理。

不过我们需要看到，能够进行线性化处理的设计对象其实是一种比较特殊的情形，这也取决于其关注的置换特征是否是线性的结构（其实很多特性是非线性的），只是线性特征具有更多“巧妙”的性质，而于此同时，我们也可以将一些非线性结构对象转化为线性结构对象进行近似的处理。

线性空间：

线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。

设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V的两个运算：

ü 向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V

ü 标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V

符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：

ü 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；

ü 向量加法交换律：v + w = w + v；

ü 向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v；

ü 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0；

ü 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；

ü 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；

ü 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v；

ü 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。

更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间；若F是复数域C，V称为复向量空间；若F是有限域，V称为有限域向量空间；对一般域F，V称为F-向量空间。

对于软件设计中，我们可以将各个因素（或者称为特性），划分成线性无关的向量形式，如果是线性相关的则可以通过化约（在数学上存在可以使用其他向量的线性组合来表示其中的线性相关向量），将之转换为线性无关的。这样，我们其实就构建起了基本的“因素”支撑的线性结构，然后通过这个“基础”的线性关系来叠加而形成不同的表示向量（线性系统具有可叠加性），这样就简化了当前的程序实现，并且可以通过通用的线性变换的算法（例如剪切变换、投影变换、旋转变换等）进行高效的编程。同时，我们也可以将这些线性无关的向量空间，通过矩阵变换，转化为正交的坐标系，这样能够让我们的设计成为更为标准的程序基础构件，通过基础构件能够具有真正意义上的低耦合的搭建积木式的编程。而面向对象、面向切面都无法比拟的“正交”编程。

对于进行线性化的代码可以抽象为矩阵，而且针对抽象为的代码取值来说，由于其逻辑描述只涉及到有无的两个值，同时通过表驱动的方法所形成的矩阵通常情况下是各个向量正交后形成的矩阵形式，所以如果存在这样的代码描述就是形成的对角矩阵，而对于调用记数来说，则的取值为大于等于0的整数。当然，我们也可以利用其它的各个操作或者特征来重现矩阵描述，这依赖于具体需要抽象的要素。

由此我们可以通过矩阵的运算来表示软件的运算过程以及线性化设计后的矩阵表示，由此可以使用矩阵的一些特征来描述软件设计的各个指标。

行列式：

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式所表示的物理意义非常重要，在软件设计中，表驱动所形成代码线性化中其实都是线性无关的，而且是为1的对角化矩阵，所以其行列式值就直接表示其“规模”的大小，这也是用于描述进行线性化所覆盖的程度。而对于调用记数所产生的行列式，在各个向量线性无关的情况下（如果线性相关则表示可以将无效的代码进行清理）其调用的总体“规模”，这也是我们进行线性化所带来的价值的大小的衡量。

 

参考资料

 

1. 百度搜索 网站：

2. 互动百科 网站：

3. 《信息论基础（原书第2版）》 作者：Thomas M.Cover Joy A. Thomas，译者：阮吉寿等 出版社：机械工业出版社；出版时间：2008年1月

4. 《数学确定性的丧失》 作者：M·克莱因 ；译者：李宏魁 ；出版社：湖南科技出版社；出版时间：2004年2月

5. 《概率论与数理统计》 作者：电子科技大学应用数学系 ；出版社：电子科技大学出版社 ；出版时间：1999年8月

6. 《离散数学（第3版）》 作者：方世昌 ；出版社：西安电子科技大学出版社 ；出版时间：2009年1月

7. 《线性代数的几何意义》 作者：任广千等 ；出版社：西安电子科技大学出版社 ；出版时间：2015年7月

8. 《线性代数及其应用》 作者：David C.Lay ；译者：刘深泉等 ； 出版社：机械工业出版社 ；出版时间：2005年8月

9. 《测度论与概率论基础》 作者：程士宏 ； 出版社：北京大学出版社 ；出版时间：2004年2月

10. 《数学方法论丛书-关系映射反演方法》 作者：徐利治等 ； 出版社：江苏教育出版社 ；出版时间：1989年2月

11. 《重温微积分》 作者：齐民友 ；出版社：高等教育出版社 ；出版时间：2004年1月

12. 《数学之美》 作者：吴军 ；出版社：人民邮电出版社 ；出版时间：2012年5月

13. 《编程原本》 作者：Alexander Stepanov / Paul McJones，译者：裘宗燕  出版社：机械工业出版社华章公司；出版时间：2012年1月